马克威主成分分析

马克威操作说明

以数据文件“马克威通用数据3.mkw”为例，演示主成分分析算法的操作。

（1）首先，在工作区，打开建模分析工作流“高级统计”→“主成分分析”；

（2）接着选择数据源；

（3）然后设置算法的参数；

（4）主要操作步骤如下：

1）选择数据源；

2）变量选择：

设置好参数如下所示：

（5）输出结果：

特征根和累计贡献率：

特征根的碎石图：

共性方差矩阵：

（6）结果说明：

特征根和累计贡献率表：因子列中表示因子的序号；特征根列中列出的是各主成分的特征值，特征根可以看成主成分影响力度的指标。表中列出了所有的主成分，它们按照特征根从大到小的次序排列。累计贡献率表示各因子的特征值占总方差的累计百分比。

特征根的碎石图给出了特征根的分布状况，从中可以直观地看出特征根的衰减情况以及每个特征根所作的贡献，用于决定保留多少个主成分。

共性方差矩阵表：反映的信息是按照所选标准提取相应数量主成分后，各变量中信息分别被提取的比例。

数据要求

输入变量类型：要求数值型变量；如整型、浮点型

注：参与主成分分析的变量要求至少2个；数据要求没有缺损。

算法用途

主成分分析构造原变量的一系列线性组合，使各线性组合在彼此不相关的前提下尽可能多地反映原变量的信息。

可应用于：概述数据之间的关系；将原数据转换为互不相关数据；降低数据个数，简化多变量维度；解决回归分析中共线性问题；可用来做一组变量的综合指数等。

可分析的对象：主成分分析可分析数据的不同统计量，系统支持对变量的相关系数和协方差进行分析。

可应用的领域：商业（如市场细分）、医学药理分析、化学分析、生物（如农作物生长的影响因素分析）、社会学、地质分析等。

算法原理

主成分分析算法要求数据无缺损，所以将计算相关缺失值行都去除；输入数据矩阵，并赋予相应的权重；计算相关系数矩阵或协方差矩阵；计算数据矩阵的特征根和特征向量；选取特定的特征根和特征向量；计算因子载荷矩阵；计算数据矩阵的标准化得分；计算主成分。具体步骤如下：

1）计算相关系数矩阵和协方差矩阵：

叉积：，

相关系数矩阵：：

协方差矩阵：：

其中Z是数据，w是相应的权重。

2）计算相关系数矩阵或者协方差矩阵的特征根与特征向量：

，

3）根据需求选取最大的前m个特征根与对应的特征向量：

，

4）计算主成分贡献率及累计贡献率：

，    

5）计算因子载荷矩阵和共性方差：

，

6）计算数据矩阵的列进行标准化：

列均值：，

列方差：，

标准化元素：，，

7）计算主成分：

其中L为根据用户需求选取的特征根对应的特征向量。

结果与解释

输出结果：